A/L ත්‍රිකෝණමිතිය හඳුනාගනිමු

කෝණ මිනුම

ත්‍රිකෝණමිතිය පාඩම ආරම්භ කරන්න කලින් අපට කෝණ පිළිබඳ හොඳ අවබෝධයක් තියෙන්න ඕනෙ. කෝණයක් කියපු ගමන් අපට මතක් වෙන්නෙ මෙන්න මෙහෙම දෙයක් නේද?

මේ වගේ කෝණ ද්විමාණ තලයක පිහිටි කෝණ කියල හඳුන්වනව. කෙටියෙන් තල කෝණ කියල හඳුන්වන්නෙත් මේ වගේ කෝණ තමයි. එතකොට අනිත් කෝණ වර්ගය මොකක්ද?

ඒව තමයි ත්‍රිමාණ තලයක පිහිටි කෝණ. ඝන කෝණ කියන්නෙත් මේවටම තමයි. පොඩ්ඩක් හිතන්න කේතුව කියන ඝනවස්තුව ගැන.

කේතුවෙ කෙලව‍ර බැළුවොත් අපට කෝණයක හැඩයක් පෙනව නේද? ඒත් ඒ කෝණය ත්‍රිමාණව පිහිටන කෝණයක්. ත්‍රිමාණ තලයක පිහිටි කෝණ ගැන උ.පෙළ. මට්ටමේදි හදාරන්න නැහැ. ඒත් දැනගෙන ඉන්න එක හොඳයි. භෞතික විද්‍යාවෙදි නම් මේ කෝණ මනින ඒකකය ගැනත් සඳහන් වෙනව. ( ස්ට’රේඩියන් (sr) තමයි ඒකකය)

 

කෝණ මනින ඒකක

අංශකය

සා.පෙළ. දි කොණ මනින්න යොදා ගන්න ඒකකය තමයි මේ. අංශකයක් කියන්නෙ, ඕනෑම වෘතයක පරිදිය සමාන කොටස් 360 කට බෙදූ පසු, එක ලග පිහිටි බෙදුම් ලක්ෂ දෙකක් මගින් කේන්ද්‍රය ආපාතනය කරන කෝණයට.

 

රේඩියනය

ඕනෑම වෘතයක අරයට සමාන චාප දිගක් මගින් කේන්ද්‍රය ආපාතනය කරන කෝණය රේඩියන් එකක්.

රේඩියන් වලට ඇත්තටම ඒකකයක් නැහැ. ඉහත සමීකරණයට අනුව ඒකක කැපිල යන නිසා. එ‍් වුනත් භාවිතය සඳහා rad කියන ඒකකය සම්මත කරගෙන තියනව.

 

රේඩියන් හා අංශක අතර සම්බන්ධය

රේඩියන් ගැන දැන් ඔයාලට අවබෝධයක් ඇති. දැන් අපි රේඩියන් හා අංශක අතර සම්බන්ධය හඳුන ගනිමු.

ඉහත රේඩියන් සම්බන්ධ සමීකරණයෙ l කියන්නෙ චාප දිගට කියල දැන් ඔයාලට තේරෙනව ඇති. අපි හිතමු l කියන්නෙ අර්ධ වෘත්තයක චාප දිගක් කියල. එතකොට එම චාප දිගක් මගින් කේන්ද්‍රය ආපාතනය කරන කෝණය අංශක වලින් අපි දන්න විදිහට 180⁰ යි. දැන් බලමු rad වලින්.

• θrad = l/r

l = අර්ධ වෘත්තයක චාපයේ දිග නිසා

• θrad = πr/r
• θrad = π

එමනිසා

• πrad = 180⁰
• 1rad = 180⁰/π

 

කේන්ද්‍රික කණ්ඩයක වර්ගඵලය

කේන්ද්‍රික කණ්ඩයේ වර්ගඵලය A නම්

• A = {θrad/2 π} πr²
• A = {r² . θrad} / 2

 

මූලික ත්‍රිකෝණමිතිය

මේ කොටසෙ බාගයක් විතර සා.පෙළදි කරල තියන සරලම දේවල්. ඒ වුනත් හඳුන ගන්න අළුත් දේවල් ටිකක් තියනව. sin , cos, tan වල හැසිරීම ගැන ඔයාල දැනටමත් හොඳට දන්නවනෙ. (මතක නැත්තම් කලබල වෙන්න එපා. ඊළඟට ඒ දේවල් ගැනත් පැහැදිලි කරනව)

sin , cos, tan වලට අමතරව උ.පෙළ දි අළුත් ත්‍රිකෝණමිතික අර්ථ දැක්වීම් 3ක් ගැන දැනගන්න ඕනෙ. ඒ තමයි cosec, sec සහ cot.

θ කෝණය සළකන විට x කියන්නෙ සම්මුඛ පාදය. y බද්ධ පාදය. z හැම වෙලේම කර්ණය. දැන් නම් අමතක අයටත් මතක් වෙන්න ඇති. cosec, sec සහ cot කියන්නෙ පිළිවෙලින් sin , cos සහ tan වල පරස්පරයන් කියලත් ඉහත සම්බන්ධතා වලින් පැහැදිලි වෙනව.




උ.පෙළ ත්‍රිකෝණමිතියෙදි සෑම සම්බන්ධතාවක්ම මේ අර්ථ දැක්වීම් වලින් තමයි ඉදිරිපත් වෙන්නෙ. ඒක නිසා මේ සරල තැන් වල කිසිම ගැටළුවක්, අපැහැදිලි තැනක් තියා ගන්න එපා.

 

ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලිකම සම්බන්ධතා

sin²θ + cos²θ = 1

මේ සම්බන්ධය තමයි මුළින්ම හමුවෙන වැදගත්ම සම්බන්ධය. ඕනෑම θ කෝණයක් සඳහා ‍සත්‍ය වන සම්බන්ධයක්. උ.පෙළදි හැම කෝණයක් සඳහාම මේක ඔප්පු කරන්න ඕනෙ නෑ. තේරුම් ගැනීමට පමණක් සුළු කෝණයක් සඳහා ඔප්පු කරමු.


පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන් තමයි ඔප්පු කිරීම පටන් ගන්නෙ. කලින් සටහනම නැවත ගන්නව මම මේ පැහැදිලි කිරීමටත්.

පයිතගරස් ප්‍රමේයයෙන්

• x² + y² = z²

මුළු සමීකරණයම z²න් බෙදීමෙන්;

• (x/z)² + (y/z)² = 1

දැන් සටහනේ තියන පද වලින් ආදේශ කලාම;

• sin²θ + cos²θ = 1----(i) සම්බන්ධය ලැබෙනව.

දැන් මේ සම්බන්ධයම භාවිත කරල තවත් සම්බන්ධ 2ක් හදා ගන්න පුළුවන්.

cosθ අසමානයි 0 විට, මුළු සමීකරණයම cos²θ න් බෙදීමෙන්;

• (sin²θ/cos2θ) + 1 = 1/cos²θ
• (sinθ/cosθ)² + 1 = (1/cosθ)²
• tan²θ + 1 = sec²θ

1 + tan²θ = sec²θ----(ii)

sinθ අසමානයි 0 විට, මුළු සමීකරණයම sin²θ න් බෙදීමෙන්;

• 1 + (cos²θ/sin²θ) = 1/sin²θ
• 1 + (cosθ/sinθ)² = (1/sinθ)²

1 + cot²θ = cosec²θ----(iii)

මේ සම්බන්ධතා 3ම මතකයේ තියෙන්න ඕනෙ.

මේ අවස්ථාව දක්වාම ත්‍රිකෝණමිතියෙ පැහැදිලි කිරීම් කලේ සුළු කෝණ සැලකීමෙන්. මූලිකව ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත හඳුනා ගැනීම සිදු කලෙත් ඍජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක් සැලකිල්ලට අරගෙන බව මතක ඇති. මෙතනින් ඉදිරියට අපි ඒ පරාසයෙන් ඉවත පිහිටි කෝණ ගැනත් සාකච්ඡා කරනව. එමනිසා දැන් අපේ සාකච්ඡාව තරමක් දුරට පුළුල් වෙනව.

කෝණයක ද්විමාණ තලයේ පිහිටීම කාටිසීය තලයක නිරූපනය කරන්න පුළුවන් බව දැන් ඔයාල දන්නව. මෙම පිහිටීම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතවල ලකුණට (+ හෝ -) ඍජුවම බලපාන දෙයක්. මේ පිළිබඳව විස්තර කරන්න කලින් අපට වෘත්ත පාද සම්බන්ධව විශේෂ හඳුනාගැනීමක් කරන්න සිදු වෙනව. වෘත්ත පාද ආශ්‍රිත සංකල්ප පැහැදිලිව තේරුම් ගැනීම සඳහා ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණ පිළිබඳ අවබෝධය ඉතා වැදගත්.

 

ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණය

A සිට OX ට ඇදි ලම්භකයේ අඩිය C ද, B සිට OX ට ඇදි ලම්භකයේ අඩිය D ද නම්, CD රේඛාව යනු AB මගින් OX මත ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණය ලෙස හඳුන්වන්න පුළුවන්.

එලෙසම;
A සිට OY ට ඇදි ලම්භකයේ අඩිය E ද, B සිට OY ට ඇදි ලම්භකයේ අඩිය F ද නම්, EF රේඛාව යනු AB මගින් OY මත ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණය ලෙස හඳුන්වන්න පුළුවන්.

මෙහිදී;

• O සිට X ඔස්සේ X හි ධන දිශාවට මනිනු ලබන දුර ධන ලෙසද
• O සිට X ඔස්සේ X හි ඍණ දිශාවට මනිනු ලබන දුර ඍණ ලෙසද
• O සිට Y ඔස්සේ Y හි ධන දිශාවට මනිනු ලබන දුර ධන ලෙසද
• O සිට Y ඔස්සේ Y හි ඍණ දිශාවට මනිනු ලබන දුර ඍණ ලෙසද

සලකනව. ඒ සම්බන්ධය ඉතා පහසුවෙන් මතක තබා ගන්න පුළුවන්.

ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපනයන්ගේ දිග AB රේඛාවේ දිග සහ ආනතිය මත තමයි රඳා පවතින්නෙ. එමනිසා ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපනයන්ගේ දිග ඍණ අනන්තයේ සිට ධන අනනතය දකවා ඕනෑම අගයක් විය හැකියි.

 

වෘත්ත පාද හඳුනාගැනීම

වෘත්ත පාද කියන්නෙ කාටිසීය තලය එහි අක්ෂ මගින් (x හා y අක්ෂ) බෙදෙන කොටස් වලට.

 

ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණයන්ට අනුව ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයන් ලබාගැනීම

s හා t හි ලකුණ O හි සිට මනින දිශාව අනුව වෙනස් වෙනව. OP සෑම විටම ධන (+). (OP යනු දෛශික අරයක් වන අතර එය සැම විටම ධන (+) අගයක් වේ.)

ඉහත කරුණු දෙක සහ පහත දැක්වෙන සමීකරණ තුන සළකා sinθ, cosθ, tanθ හි ධන හෝ ඍණ බව තීර්ණය කරන්න පුළුවන්.

• sinθ = (OP මගින් OY මත ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණය) / OP හි දිග
• cosθ = (OP මගින් OX මත ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණය) / OP හි දිග
• tanθ = (OP මගින් OY මත ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණය) / (OP මගින් OX මත ප්‍රලම්භ ප්‍රක්ෂේපණය)

මේ විග්‍රහය තරමක් දුරට සංකීර්ණයි කියල කෙනෙකුට හිතෙන්න පුළුවන්. ඒත් අපට මේ දේවල් වලින් උ.පෙළ ත්‍රිකෝණමිතියට වැදගත් වෙන්නෙ අවසානයේ ලැබෙන ප්‍රතිඵලය පමණයි.

පහත දැක්වෙන සටහනේ අඩංගු කරුණු මතකයේ තිබීම ප්‍රමාණවත්. θ විවිධ පරාස වල තියනකොට විවිධ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත වල ලකුණු පිළිබඳ අවබෝධය අනිවාර්යයෙන්ම තියෙන්න ඕනෙ.

වෘතපාදයන්ට අනුව ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයන්ගේ ධන හෝ ඍණ බව

sinθ, cosθ, tanθ වලින් නිරූපනය වෙන්නෙ තාත්වික සංඛ්‍යා. පහත සටහනෙන් කියන්නෙ විවිධ වෘත්ත පාද වලදි එම සංඛ්‍යා වල + හෝ - බව. මෙහිදී sinθ, cosθ, tanθ පද වලට ඉදිරියෙන් + හෝ - ලකුණ දාල තිබුණට ඒකෙන් කියන්නෙ sinθ, cosθ, tanθ කියන අනුපාත වලින් ලැබෙන අගයේ ලකුණ ගැන. (+ sinθ කියන්නෙ "ධන sinθ" කියල වැරදියට තේරුම් ගන්න එපා. + sinθ කියල මෙතනදි කියන්නෙ "θ කෝණය සඳහා එම වෘත්ත පාදයේ කෝණයක් ආදේශ කල විට sinθ යනු + අගයක්" කියන එක)

 

වෘත්ත පාදයන්හිදී ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත

හැම කොටසකදිම වගේ මේ කොටසත් අපි සා.පෙළ මට්ටමින්ම පටන් ගමු. උ.පෙළ ගණිතය හදාරන හෝ සා.පෙළ අවසන් කරල උ.පෙළට ගණිතය හදාරන්න බලාපොරොත්තු වන හැමෝටම මතක තැනකින් මම විස්තර කිරීම පටන් ගන්නම්. පහත වගුව දිහා පොඩ්ඩකට බලන්න.

මේ වගුව හැමෝටම මතක ඇති. ගණිතයේදී අපිට අවශ්‍ය වන ප්‍රධාන ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත කිහිපයක් තමයි මේ තියෙන්නෙ. මීට අමතරව තව අවස්ථා කිහිපයක් තියනව අපට අවශ්‍ය වන. අගයන් ගොඩක් වගේ පෙනුනට ‍ඇත්තටම මේව එකිනෙකට සම්බන්ධයි. මතක තියාගන්න අවශ්‍ය වෙන්නෙ පොඩි ප්‍රමාණයක්. ඒක නිසා කලබල නොවී පහත වගුවත් අධ්‍යනය කරන්න.

ඉහත වගුවෙ තිබෙන දත්ත වලට අමතරව පහත කරුණු සළකා බැලීම වැදගත්.

• සියළුම සුළු කෝණ වල ත්‍රිකෝණමිතික අගයයන් + වේ. 
• 0⁰ සහ 90⁰ අතර ඕනෑම කෝණයක sin අගය 0 හා 1 අතර වෙයි.
• 0⁰ සිට 90⁰ දක්වා කෝණය ක්‍රමයෙන් වැඩි වන විට, අනුරූප sin අගයද ක්‍රමයෙන් වැඩි වෙයි.
• 90⁰ ඉරට්ටේ ගුණාකාර සියල්ලගේම sin අගය 0 වෙයි. (උදා: sin (90⁰ *2) = sin 180⁰ =0)
• 90⁰ ඔත්තේ ගුණාකාර සියල්ලගේම sin අගය +1 හෝ -1 වේ. අනුයාත 90⁰ ඔත්තේ ගුණාකාර දෙකක ලකුණ වෙනස්ය. (උදා: sin (90⁰ *1) = sin 90⁰ =1 , sin (90⁰ *3) = sin 270⁰ =-1)
• 0⁰ සහ 90⁰ අතර ඕනෑම කෝණයක cos අගය 0 හා 1 අතර වෙයි.
• 0⁰ සිට 90⁰ දක්වා කෝණය ක්‍රමයෙන් වැඩි වන විට, අනුරූප cos අගය ක්‍රමයෙන් අඩු වෙයි.
• 90⁰ ඔත්තේ ගුණාකාර සියල්ලගේම cos අගය 0 වෙයි. (උදා: cos (90⁰ *1) = cos 90⁰ =0)
• 90⁰ ඉරට්ටේ ගුණාකාර සියල්ලගේම cos අගය +1 හෝ -1 වේ. අනුයාත 90⁰ ඉරට්ටේ ගුණාකාර දෙකක ලකුණ වෙනස්ය . (උදා: cos (90⁰ *2) = cos 180⁰ =-1 , cos (90⁰ *4) = cos 360⁰ =1)
• tan හි 90⁰ ඉරට්ටේ ගුණාකාර සියල්ල 0 වෙයි.

මේ අවස්ථා sin, cos හා tan වක්‍ර ඇසුරින් පැහැදිලිව තේරුම් ගන්න පුළුවන්. ඊට පෙර ඉගෙන ගන්න ඕන දේවල් ටිකක් තියනව. මුලින්ම ඍණ කෝණ පිළිබඳව අවධානය යොමු කරමු.

 

ඍණ කෝණ සදහා ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අතර සම්බන්ධය ලබා ගැනීම 

රූපයට අනුව;

• sinθ = (+t)/r----(i)
• sin(-θ) = (-t)/r----(ii)

(i) හා (ii) න්;

• sin(-θ) = -sinθ
• cosθ = (+s)/r----(iii)
• cos(-θ) = (+s)/r----(iv)

(iii) හා (iv) න්;

• cos(-θ) = cosθ
• tanθ = (+t)/(+s)----(v)
• tan(-θ) = (-t)/(+s)----(vi)

(v) හා (vi) න්;

• tan(-θ) = -tanθ

මේ සම්බන්ධතා වලින් අපට පෙනෙන වැදගත්ම දේ තමයි cos අගය ලබා ගැනීමේදී කෝණයේ ලකුණ නොවැදගත් සාධකයක් වීම. උදාහරණයක් විදිහට cos(-60⁰) = cos60⁰ = 1/2 සලකන්න පුළුවන්.

sin හා tan වලදී මෙහෙම වෙන්නෙ නැහැ. θ හි ලකුණ ඒවායේ අවසාන ප්‍රතිඵල වල ලකුණට ඍජුවම බලපානව.

 

වෘත්ත පාදයන්හිදී ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත අතර සම්බන්ධතා

sin(900-θ) = cosθ sin(900+θ) = cosθ sin(1800-θ) = sinθ sin(1800+θ) = -sinθ sin(2700-θ) = -cosθ sin(2700+θ) = -cosθ sin(3600-θ) = -sinθ

cos(900-θ) = sinθ cos(900+θ) = -sinθ cos(1800-θ) = -cosθ cos(1800+θ) = -cosθ cos(2700-θ) = -sinθ cos(2700+θ) = sinθ cos(3600-θ) = cosθ

tan(900-θ) = cotθ tan(900+θ) = -cotθ tan(1800-θ) = -tanθ tan(1800+θ) = tanθ tan(2700-θ) = cotθ tan(2700+θ) = -cotθ tan(3600-θ) = -tanθ

මුලින්ම අපි මේ සම්බන්ධතා වල + හෝ - බව තීරණය කරන්නෙ කොහොමද කියල බලන්න ඕනෙ.
උදාහරණයක් විදිහට;

sin(180⁰-θ) = +sinθ සහ sin(270⁰-θ) = -cosθ සලකමු. (මේ සම්බන්ධතා වල ලකුණ වෙනස් වෙලා තියන විදිය ගැන පමණක් හිතන්න.)

 

sin(180⁰-θ) = +sinθ

අපි මෙහිදී (180⁰-θ) කියන කෝණය ගත්තොත්, θ සුළු කෝණයක් නම්, (180⁰-θ) කෝණය දෙවන වෘත්ත පාදය තුල පිහිටනව. මෙහිදී අපි sin(180⁰-θ) සලකන නිසාත් දෙවන වෘත්ත පාදය තුල sin හි අගය + නිසාත්, ලකුණ + වෙනව.

 

sin(270⁰-θ) = -cosθ

(270⁰-θ) කියන කෝණය, θ සුළු කෝණයක් නම් තුන් වන වෘත්ත පාදය තුල පිහිටනව. මෙහිදී අපි sin(270⁰-θ) සලකන නිසාත් තුන්වන වෘත්ත පාදය තුල sin හි අගය - නිසාත්, ලකුණ - වෙනව.

දැන් සමහර අයට ප්‍රශ්ණයක් තියෙන්න ප්‍රළුවන් θ සුළු කෝණයක් නෙවෙයි නම් මොකද වෙන්නෙ කියල. කිසිම ගැටළුවක් නැහැ මේ විදිහටම ලකුණ හොයා ගන්න පුළුවන්. නමුත් ඒ වෙලාවට අපි සලකන θ කෝණය සුළු කෝණයක් කියල හිතාගෙන කෝණය පිහිටන වෘත්ත පාදය සොයා ගන්න. උදාහරණයක් විදිහට sin(270⁰-θ) ගෙ θ = 95⁰ කියල හිතන්න.

(270⁰-95⁰) ‍මේ කෝණය ඇත්තටම පිහිටන්නෙ දෙවන වෘත්ත පාදයෙ. නමුත් අපි එහෙම හිතන්නෙ නැතුව 95⁰ සුළු කෝණයක් වුණා නම් එම කෝණය පිහිටන වෘත්ත පාදය සොයා ගන්න ඕන. ඊට පස්සෙ ඊට අදාල ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතයේ ලකුණ තෝරගන්න ඕනෙ.
sin(270⁰-95⁰) = -cos95⁰


දැන් ලකුණ තෝරගන්න විදිහ සාකච්ඡා කරල අවසන්. ඊළඟට බලමු sin, cos, tan, cot මාරු වීම හෝ නොවීම හොයා ගන්න හැටි. ඒක නම් ඉතාම සරල දෙයක්.

මේ සටහනේ අක්ෂ දෙකක් (x හා y අක්ෂ) තියනවනෙ. ඒ අක්ෂ දෙකෙන්, තිරස් (x) අක්ෂයට සම්බන්ධ කෝණ වලදී sin, cos, tan, cot මාරු වීම සිදු වෙන්නෙ නැහැ. උදාහරණ විදිහට;

sin(1800-θ) = sinθ sin(1800+θ) = -sinθ sin(3600-θ) = -sinθ

cos(1800-θ) = -cosθ cos(1800+θ) = -cosθ cos(3600-θ) = cosθ

tan(1800-θ) = -tanθ tan(1800+θ) = tanθ tan(3600-θ) = -tanθ

නමුත් සිරස් (y) අක්ෂයට සම්බන්ධ කෝණ වලදී;

• sin නම් cos වලටත්;
• cos නම් sin වලටත්;
• tan නම් cot වලටත්;

මාරු කිරීමට සිදු වෙනව.
උදාහරණ විදිහට පහත අවස්ථා සලකන්න පුළුවන්.

sin(900-θ) = cosθ sin(900+θ) = cosθ sin(2700-θ) = -cosθ sin(2700+θ) = -cosθ

cos(900-θ) = sinθ cos(900+θ) = -sinθ cos(2700-θ) = -sinθ cos(2700+θ) = sinθ

tan(900-θ) = cotθ tan(900+θ) = -cotθ tan(2700-θ) = cotθ tan(2700+θ) = -cotθ

අ.පො.ස. උසස් පෙළ ශුද්ධ ගණිතයට අදාල ත්‍රිකෝණමිතිය කොටසෙ මූලික හඳුනා ගැනීම් කිහිපයක් තමයි මේ. තවත් කොටසකින් හමුවෙමු.

සැකසුම: යසස් ගුණරත්න(උපුටා ගැනීම online educator )